3.1 Themenbereich „Zahlen und Operationen“

Zahlvorstellungen

	Zahlen auffassen und darstellen	Zahlen ordnen	Zahlbeziehungen beschreiben
A	schnelles Erfassen von Mengen (z. B. strukturierte Mengenbilder) Übersetzen zwischen kleinen natürlichen Zahlen als Menge und Wort und umgekehrt	Aufsagen der Zahlreihe bis 10 Vergleichen (mehr als, weniger als, gleich viel) von Mengen bis 10 (z. B. durch 1:1-Zuordnung der Elemente)	Zerlegen einer Gesamtmenge in Teilmengen
A	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard
B	Schreiben von Ziffern Auffassen und Darstellen von natürlichen Zahlen bis 100 [ggf. bis 20] als strukturierte Menge, als Bild, als Wort und mit Ziffern Wechsel zwischen den Zahldarstellungen natürlicher Zahlen bis 100 [ggf. bis 20] Bündeln und Entbündeln von Mengen bis 100 [ggf. bis 20] Erkennen von Stellenwerten und Verwenden des Zehnersystems Schätzen von Anzahlen bis 100 [ggf. bis 20]	Zählen bis 100 [ggf. bis 20] in verschiedenen Schritten vorwärts und rückwärts Vergleichen und Ordnen von natürlichen Zahlen bis 100 [ggf. bis 20] stellenweise sowie am Zahlenstrahl und Zahlenstrich (auch mit Relationszeichen) Angeben von Vorgänger, Nachfolger und Nachbarzehnern	Automatisieren der additiven Zahlzerlegungen bis 10 sowie der Ergänzung bis 10 additives Zerlegen von natürlichen Zahlen bis 100 [ggf. bis 20] Finden und Beschreiben von Gemeinsamkeiten und Unterschieden zwischen gegebenen Zahlen Unterscheiden von geraden und ungeraden Zahlen
B	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard
C	Darstellen von natürlichen Zahlen bis 1 Mio. [ggf. bis 10 000] als Bild, als Wort, mit Ziffern auch in der Stellenwerttafel) Wechsel zwischen den Zahldarstellungen natürlicher Zahlen bis 1 Mio. [ggf. bis 10 000] Erklären der Stellenwerte und deren Zusammenhänge mithilfe des Prinzips der wiederholten Bündelung Schätzen von Anzahlen größer als 100 mithilfe von Rastern und Vergleichsmengen	Zählen bis 1 Mio. [ggf. bis 10 000] in verschiedenen Schritten vor- und rückwärts Vergleichen und Ordnen von natürlichen Zahlen bis 1 Mio. [ggf. bis 10 000] Angeben der Nachbarzahlen (Nachbarhunderter, Nachbartausender etc.) Anwenden von Rundungsregeln	Prüfen und Begründen der Teilbarkeit natürlicher Zahlen (z. B. 27 ist nicht durch 5 teilbar, weil beim Teilen ein Rest bleibt) Nutzen der Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5, 10 und 100 Angeben von Vielfachen und Teilern einer Zahl Nennen und Erkennen von Quadratzahlen (bis 100)
C	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard
D	Beschreiben der Anteile von Ganzen als gemeine Brüche und Abgrenzen von Verhältnissen Übersetzen von gebrochenen Zahlen (gemeine Brüche und Dezimalzahlen) zwischen Bild, Wort und Symbol Erweitern der Stellenwerttafel (nach rechts) Kürzen und Erweitern von Brüchen Verwenden gemischter Zahlen nur in Alltagszusammenhängen	Anordnen von gebrochenen Zahlen am Zahlenstrahl Vergleichen und Ordnen von gemeinen Brüchen durch direktes Vergleichen, gleichnamig Machen und am Zahlenstrahl Vergleichen und Ordnen von Dezimalzahlen stellenweise und am Zahlenstrahl Runden von Dezimalzahlen Erklären der Dichtheit der gebrochenen Zahlen auch am Zahlenstrahl (im Sinne von: Zwischen zwei gebrochenen Zahlen ist immer noch eine weitere.)	Nutzen der Teilbarkeitsregeln (auch für die Teiler 3, 4, 6, 9, 25 und 50) zum Prüfen natürlicher Zahlen auf Teilbarkeit Erkennen von Primzahlen Angeben von Vielfachen großer Zahlen Angeben gemeinsamer Teiler und Vielfache zweier natürlicher Zahlen Erläutern der Notwendigkeit der Zahlenbereichserweiterung bezüglich der gebrochenen Zahlen anhand von Beispielen Beschreiben von Zahlbeziehungen innerhalb eines Zahlenbereiches (auch unter dem Aspekt der Teilbarkeit) und zwischen natürlichen und gebrochenen Zahlen
D	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard
E	Beschreiben von Prozenten als weitere Darstellungsform für gebrochene Zahlen Identifizieren von negativen Zahlen (negative ganze Zahlen und negative gebrochene Zahlen) und Verknüpfen mit Alltagssituationen Darstellen von rationalen Zahlen mit Ziffern und an der Zahlengeraden (Erweiterung des Zahlenstrahls zur Zahlengeraden) Darstellen des Ergebnisses einer Division als gebrochene Zahl und als Dezimalzahl (auch periodische Dezimalzahlen) Unterscheiden von Vorzeichen bei rationalen Zahlen und Rechenzeichen	Vergleichen und Ordnen von Prozentangaben rationalen Zahlen Runden von rationalen Zahlen Erklären der Dichtheit der rationalen Zahlen auch an der Zahlengeraden	Beschreiben der Beziehung zwischen Prozentsatz, Prozentwert und Grundwert Verwenden von Betrag und Gegenzahl Erläutern die Notwendigkeit der Zahlenbereichserweiterung bezüglich der negativen Zahlen anhand von Beispielen Beschreiben der Beziehung zwischen der Menge der ganzen Zahlen und der Menge der natürlichen Zahlen
E	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard
F	Darstellen von Potenzen, insbesondere Zehnerpotenzen mit natürlichem Exponenten Darstellen von rationalen Zahlen (auch mithilfe von Zehnerpotenzen mit natürlichen Exponenten)	Vergleichen und Ordnen von rationalen Zahlen (auch Potenzen mit natürlichen Exponenten) Runden von rationalen Zahlen (auch in Potenzschreibweise)	Beschreiben der Beziehung der Menge der rationalen Zahlen zu allen bereits bekannten Zahlenbereichen
F	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard
G	Nennen von Pi und einiger Quadratwurzeln natürlicher Zahlen als Beispiele für irrationale Zahlen Angeben von Näherungswerten für reelle Zahlen	Vergleichen und Ordnen von reellen Zahlen über Näherungswerte sachgerechtes Runden von reellen Zahlen	Untersuchen und Beschreiben der Teilmengenbeziehungen aller bisher bekannten Zahlenbereiche Erweitern der bisher behandelten Zahlenbereiche auf die reellen Zahlen
G	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard
H	angemessenes Verwenden ganzer, rationaler und reeller Zahlen zur Darstellung mathematischer Situationen situationsangemessenes Darstellen von Zahlen als Brüche, Dezimalzahlen, Prozentzahlen und in Zehnerpotenzschreibweise	Beschreiben und Reflektieren eines Verfahrens zur Einschachtelung von Quadratwurzeln oder Pi	---
H	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard

Zahlvorstellungen

	Zahlen auffassen und darstellen
A	schnelles Erfassen von Mengen (z. B. strukturierte Mengenbilder) Übersetzen zwischen kleinen natürlichen Zahlen als Menge und Wort und umgekehrt
A	> zugehöriger Standard
B	Schreiben von Ziffern Auffassen und Darstellen von natürlichen Zahlen bis 100 [ggf. bis 20] als strukturierte Menge, als Bild, als Wort und mit Ziffern Wechsel zwischen den Zahldarstellungen natürlicher Zahlen bis 100 [ggf. bis 20] Bündeln und Entbündeln von Mengen bis 100 [ggf. bis 20] Erkennen von Stellenwerten und Verwenden des Zehnersystems Schätzen von Anzahlen bis 100 [ggf. bis 20]
B	> zugehöriger Standard
C	Darstellen von natürlichen Zahlen bis 1 Mio. [ggf. bis 10 000] als Bild, als Wort, mit Ziffern auch in der Stellenwerttafel) Wechsel zwischen den Zahldarstellungen natürlicher Zahlen bis 1 Mio. [ggf. bis 10 000] Erklären der Stellenwerte und deren Zusammenhänge mithilfe des Prinzips der wiederholten Bündelung Schätzen von Anzahlen größer als 100 mithilfe von Rastern und Vergleichsmengen
C	> zugehöriger Standard
D	Beschreiben der Anteile von Ganzen als gemeine Brüche und Abgrenzen von Verhältnissen Übersetzen von gebrochenen Zahlen (gemeine Brüche und Dezimalzahlen) zwischen Bild, Wort und Symbol Erweitern der Stellenwerttafel (nach rechts) Kürzen und Erweitern von Brüchen Verwenden gemischter Zahlen nur in Alltagszusammenhängen
D	> zugehöriger Standard
E	Beschreiben von Prozenten als weitere Darstellungsform für gebrochene Zahlen Identifizieren von negativen Zahlen (negative ganze Zahlen und negative gebrochene Zahlen) und Verknüpfen mit Alltagssituationen Darstellen von rationalen Zahlen mit Ziffern und an der Zahlengeraden (Erweiterung des Zahlenstrahls zur Zahlengeraden) Darstellen des Ergebnisses einer Division als gebrochene Zahl und als Dezimalzahl (auch periodische Dezimalzahlen) Unterscheiden von Vorzeichen bei rationalen Zahlen und Rechenzeichen
E	> zugehöriger Standard
F	Darstellen von Potenzen, insbesondere Zehnerpotenzen mit natürlichem Exponenten Darstellen von rationalen Zahlen (auch mithilfe von Zehnerpotenzen mit natürlichen Exponenten)
F	> zugehöriger Standard
G	Nennen von Pi und einiger Quadratwurzeln natürlicher Zahlen als Beispiele für irrationale Zahlen Angeben von Näherungswerten für reelle Zahlen
G	> zugehöriger Standard
H	angemessenes Verwenden ganzer, rationaler und reeller Zahlen zur Darstellung mathematischer Situationen situationsangemessenes Darstellen von Zahlen als Brüche, Dezimalzahlen, Prozentzahlen und in Zehnerpotenzschreibweise
H	> zugehöriger Standard

Zahlvorstellungen

	Zahlen ordnen
A	Aufsagen der Zahlreihe bis 10 Vergleichen (mehr als, weniger als, gleich viel) von Mengen bis 10 (z. B. durch 1:1-Zuordnung der Elemente)
A	> zugehöriger Standard
B	Zählen bis 100 [ggf. bis 20] in verschiedenen Schritten vorwärts und rückwärts Vergleichen und Ordnen von natürlichen Zahlen bis 100 [ggf. bis 20] stellenweise sowie am Zahlenstrahl und Zahlenstrich (auch mit Relationszeichen) Angeben von Vorgänger, Nachfolger und Nachbarzehnern
B	> zugehöriger Standard
C	Zählen bis 1 Mio. [ggf. bis 10 000] in verschiedenen Schritten vor- und rückwärts Vergleichen und Ordnen von natürlichen Zahlen bis 1 Mio. [ggf. bis 10 000] Angeben der Nachbarzahlen (Nachbarhunderter, Nachbartausender etc.) Anwenden von Rundungsregeln
C	> zugehöriger Standard
D	Anordnen von gebrochenen Zahlen am Zahlenstrahl Vergleichen und Ordnen von gemeinen Brüchen durch direktes Vergleichen, gleichnamig Machen und am Zahlenstrahl Vergleichen und Ordnen von Dezimalzahlen stellenweise und am Zahlenstrahl Runden von Dezimalzahlen Erklären der Dichtheit der gebrochenen Zahlen auch am Zahlenstrahl (im Sinne von: Zwischen zwei gebrochenen Zahlen ist immer noch eine weitere.)
D	> zugehöriger Standard
E	Vergleichen und Ordnen von Prozentangaben rationalen Zahlen Runden von rationalen Zahlen Erklären der Dichtheit der rationalen Zahlen auch an der Zahlengeraden
E	> zugehöriger Standard
F	Vergleichen und Ordnen von rationalen Zahlen (auch Potenzen mit natürlichen Exponenten) Runden von rationalen Zahlen (auch in Potenzschreibweise)
F	> zugehöriger Standard
G	Vergleichen und Ordnen von reellen Zahlen über Näherungswerte sachgerechtes Runden von reellen Zahlen
G	> zugehöriger Standard
H	Beschreiben und Reflektieren eines Verfahrens zur Einschachtelung von Quadratwurzeln oder Pi
H	> zugehöriger Standard

Zahlvorstellungen

	Zahlbeziehungen beschreiben
A	Zerlegen einer Gesamtmenge in Teilmengen
A	> zugehöriger Standard
B	Automatisieren der additiven Zahlzerlegungen bis 10 sowie der Ergänzung bis 10 additives Zerlegen von natürlichen Zahlen bis 100 [ggf. bis 20] Finden und Beschreiben von Gemeinsamkeiten und Unterschieden zwischen gegebenen Zahlen Unterscheiden von geraden und ungeraden Zahlen
B	> zugehöriger Standard
C	Prüfen und Begründen der Teilbarkeit natürlicher Zahlen (z. B. 27 ist nicht durch 5 teilbar, weil beim Teilen ein Rest bleibt) Nutzen der Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 5, 10 und 100 Angeben von Vielfachen und Teilern einer Zahl Nennen und Erkennen von Quadratzahlen (bis 100)
C	> zugehöriger Standard
D	Nutzen der Teilbarkeitsregeln (auch für die Teiler 3, 4, 6, 9, 25 und 50) zum Prüfen natürlicher Zahlen auf Teilbarkeit Erkennen von Primzahlen Angeben von Vielfachen großer Zahlen Angeben gemeinsamer Teiler und Vielfache zweier natürlicher Zahlen Erläutern der Notwendigkeit der Zahlenbereichserweiterung bezüglich der gebrochenen Zahlen anhand von Beispielen Beschreiben von Zahlbeziehungen innerhalb eines Zahlenbereiches (auch unter dem Aspekt der Teilbarkeit) und zwischen natürlichen und gebrochenen Zahlen
D	> zugehöriger Standard
E	Beschreiben der Beziehung zwischen Prozentsatz, Prozentwert und Grundwert Verwenden von Betrag und Gegenzahl Erläutern die Notwendigkeit der Zahlenbereichserweiterung bezüglich der negativen Zahlen anhand von Beispielen Beschreiben der Beziehung zwischen der Menge der ganzen Zahlen und der Menge der natürlichen Zahlen
E	> zugehöriger Standard
F	Beschreiben der Beziehung der Menge der rationalen Zahlen zu allen bereits bekannten Zahlenbereichen
F	> zugehöriger Standard
G	Untersuchen und Beschreiben der Teilmengenbeziehungen aller bisher bekannten Zahlenbereiche Erweitern der bisher behandelten Zahlenbereiche auf die reellen Zahlen
G	> zugehöriger Standard
H	---
H

Operationsvorstellungen und Rechenstrategien

	Operationsvorstellungen entwickeln	Rechenverfahren und -strategien anwenden
A	Ausführen von Handlungen nach dynamischen Situationsbeschreibungen des Hinzufügens und des Wegnehmens mit Material (z. B. Hinzulegen eines Stifts zu anderen)	Vertauschen der Reihenfolge beim Hinzufügen und Vergleichen der dabei entstandenen Gesamtmengen
A	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard
B	Entwickeln von Vorstellungen zu den Grundrechenoperationen in dynamischen und statischen Situationen: zur Addition (Hinzufügen, Vereinigen) zur Subtraktion (Wegnehmen, Unterschied) zur Multiplikation (wiederholtes Hinzufügen gleicher Anzahlen, Erfassen multiplikativer Strukturen) zur Division (Aufteilen, Verteilen) Wechseln zwischen Rechengeschichte, Notation, Handlung und Bild zu den Grundrechenoperationen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen bis 100 [ggf. bis 20] Beschreiben von Zusammenhängen zwischen den vier Grundrechenoperationen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen bis 100 [ggf. bis 20] (z. B. Umkehroperationen)	Beschreiben von Aufgabenfamilien (z. B. 5 + 3 = 8 │ 3 + 5 = 8 │ 8 – 5 = 3 │ 8 – 3 = 5) unter Nutzung der Umkehroperationen und des Vertauschungsgesetzes (Kommutativgesetz) bei der Addition und Multiplikation Nutzen, Darstellen und Beschreiben operativer Strategien für das (gestützte) Kopfrechnen: Verdoppeln und Halbieren Nachbaraufgaben (z. B. Verdoppeln plus eins) schrittweises Rechnen bei der Addition und Subtraktion über 10 hinaus Analogien bei gleichartigen Additionen und Subtraktionen (z. B. 12 + 3 mithilfe von 2 + 3) Zerlegungsstrategien flexibles und automatisiertes Lösen der Aufgaben des „kleinen 1+1“ (bis Summe 20) Berechnen von Produkten über auswendig gelernte Kernaufgaben (z. B. 6∙7 = 6∙5 + 6∙2) Durchführen von Kontrollrechnungen unter Nutzung der Umkehroperationen
B	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard
C	Sichern von Vorstellungen zu den Grundrechenoperationen in statischen und dynamischen Situationen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen bis 1 Mio. [ggf. bis 10 000] Wechseln zwischen Rechengeschichte, Notation, Handlung, Bild zu den Grundrechenoperationen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen bis 1 Mio. [ggf. bis 10 000] Darstellen und Beschreiben der Zusammenhänge zwischen den vier Grundrechenoperationen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen bis 1 Mio. [ggf. bis 10 000] Beschreiben der vier Grundrechenoperationen (auch unter Verwendung der Fachbegriffe)	Nutzen, Darstellen, Beschreiben von Zahlbeziehungen und Rechengesetzen für vorteilhaftes Rechnen und halbschriftliche Rechenverfahren (Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, gleich- und gegensinniges Verändern, „kleines 1x1“ und bekannte Teilbarkeitsregeln) Verknüpfen mehrerer Grundrechenoperationen unter Beachtung der Punkt-vor-Strich-Regel und der Klammerregeln im Bereich der natürlichen Zahlen Nutzen der Teilbarkeitsregeln (für 2, 5, 10 und 100) situationsangemessenes Verwenden von bekannten Rechenverfahren und -strategien flexibles automatisiertes Lösen der Aufgaben des „kleinen 1x1“ Ausführen der schriftlichen Rechenverfahren der Addition, Subtraktion und Multiplikation sowie Beschreiben und Erklären einzelner Rechenschritte in nachvollziehbarer Weise Überschlagen, Abschätzen und Überprüfen von Rechenergebnissen
C	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard
D	Zuordnen der Vorstellungen der Anteilbildung zur Multiplikation und der des Aufteilens zur Division im Bereich der gebrochenen Zahlen Wechseln zwischen Sachverhalt, Notation, Handlung, Bild zu den Grundrechenoperationen im Bereich der gebrochenen Zahlen Prüfen der Übertragbarkeit der bisherigen Vorstellungen zu den Grundrechenoperationen auf den Bereich der gebrochenen Zahlen Unterscheiden zwischen Erweitern und Vervielfachen bzw. Kürzen und Dividieren eines Bruches Verwenden von gebrochenen Zahlen als Operator (z. B. zwei Drittel von 60 Euro)	Prüfen und Übertragen der operativen Strategien und der schriftlichen Rechenverfahren für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division natürlicher Zahlen auf das Rechnen mit gebrochenen Zahlen situationsangemessenes Verwenden der Kopfrechenstrategien und der Rechenverfahren Verknüpfen mehrerer Grundrechenoperationen unter Beachtung der Punkt-vor-Strich-Regel und der Klammerregeln im Zahlenbereich der gebrochenen Zahlen Ausführen der schriftlichen Rechenverfahren für natürliche Zahlen (auch der Division mit ausgewählten zweistelligen Divisoren) Ausführen und Beschreiben des Rechnens mit gemeinen Brüchen Angeben von Ergebnissen mit sinnvoller Genauigkeit (auch bei Dezimalzahlen) Überschlagen, Abschätzen und Überprüfen von Rechenergebnissen (auch im Bereich der gebrochenen Zahlen)
D	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard
E	Erweiterung der Vorstellungen zu den Grundrechenoperationen im Bereich der rationalen Zahlen im Sinne von: Addition und Subtraktion als Änderung eines Zustandes Addition als Zusammenfassung von mehreren Änderungen Subtraktion als Unterschied (z. B. Abstand zwischen –2 und 5) Subtraktion als Addition der Gegenzahl Multiplikation mit (–1) als Inversion (Spiegelung am Nullpunkt) Division als Multiplikation mit dem Kehrwert der rationalen Zahl Wechseln der Darstellungsformen (Sachkontexte, Notation, Bild) zu den Grundrechenoperationen im Bereich der rationalen Zahlen. Nutzen von Prozentsätzen als Operatoren	Nutzen, Darstellen und Beschreiben von Strategien und Gesetzen bei der Prozentrechnung (auch Dreisatz und Verhältnisgleichungen) Prüfen und Übertragen der bekannten operativen Strategien, Gesetze und Verfahren auf das Rechnen mit rationalen Zahlen (auch unter Verwendung eines Taschenrechners) Durchführen von einfachen Rechnungen und Überschlagsrechnungen mit rationalen Zahlen im Kopf Angeben von Ergebnissen mit sinnvoller Genauigkeit (auch beim Rechnen mit rationalen Zahlen) Überschlagen, Abschätzen und Überprüfen von Rechenergebnissen (auch im Bereich der rationalen Zahlen)
E	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard
F	Darstellen und Beschreiben von Potenzen mit natürlichem Exponenten als fortgesetzte Multiplikation Beschreiben von Quadrat- und Kubikwurzel als Umkehrung der Potenzschreibweise	Nutzen, Darstellen und Beschreiben von Strategien und Gesetzen bei der Prozentrechnung (auch im Zusammenhang mit Rabatt und Zinsen) Überschlagen, Abschätzen und Überprüfen von Rechenergebnissen im Bereich der rationalen Zahlen (auch im Zusammenhang mit der Prozentrechnung)
F	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard
G	Wechseln der Darstellungsform für Ausdrücke der Form Erklären des Zusammenhangs zwischen Potenzieren und Radizieren	Prüfen und Übertragen der bekannten operativen Strategien und Verfahren auf das Rechnen mit reellen Zahlen Nutzen des Zusammenhangs um Potenzen mit negativen Exponenten auf bekannte Strukturen zurückzuführen Nutzen, Darstellen und Beschreiben der Potenzgesetze für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Ausführen von Rechnungen und Überschlagsrechnungen im Kopf unter Nutzung von Rechengesetzen zum vorteilhaften Rechnen (auch im Bereich der reellen Zahlen)
G	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard
H	Wechseln der Darstellungsform für Ausdrücke der Form Umformen von Potenzen in Logarithmen und umgekehrt	Zusammenfassen von Termen mit Wurzeln unter Nutzung der Potenzgesetze Begründen der Wurzelgesetze mithilfe der Potenzgesetze Nutzen des Taschenrechners zur Bestimmung von Logarithmen
H	> zugehöriger Standard	> zugehöriger Standard

Operationsvorstellungen und Rechenstrategien

	Operationsvorstellungen entwickeln
A	Ausführen von Handlungen nach dynamischen Situationsbeschreibungen des Hinzufügens und des Wegnehmens mit Material (z. B. Hinzulegen eines Stifts zu anderen)
A	zugehöriger Standard
B	Entwickeln von Vorstellungen zu den Grundrechenoperationen in dynamischen und statischen Situationen: zur Addition (Hinzufügen, Vereinigen) zur Subtraktion (Wegnehmen, Unterschied) zur Multiplikation (wiederholtes Hinzufügen gleicher Anzahlen, Erfassen multiplikativer Strukturen) zur Division (Aufteilen, Verteilen) Wechseln zwischen Rechengeschichte, Notation, Handlung und Bild zu den Grundrechenoperationen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen bis 100 [ggf. bis 20] Beschreiben von Zusammenhängen zwischen den vier Grundrechenoperationen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen bis 100 [ggf. bis 20] (z. B. Umkehroperationen) zugehöriger Standard
C	Sichern von Vorstellungen zu den Grundrechenoperationen in statischen und dynamischen Situationen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen bis 1 Mio. [ggf. bis 10 000] Wechseln zwischen Rechengeschichte, Notation, Handlung, Bild zu den Grundrechenoperationen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen bis 1 Mio. [ggf. bis 10 000] Darstellen und Beschreiben der Zusammenhänge zwischen den vier Grundrechenoperationen im Zahlenraum der natürlichen Zahlen bis 1 Mio. [ggf. bis 10 000] Beschreiben der vier Grundrechenoperationen (auch unter Verwendung der Fachbegriffe) zugehöriger Standard
D	Zuordnen der Vorstellungen der Anteilbildung zur Multiplikation und der des Aufteilens zur Division im Bereich der gebrochenen Zahlen Wechseln zwischen Sachverhalt, Notation, Handlung, Bild zu den Grundrechenoperationen im Bereich der gebrochenen Zahlen Prüfen der Übertragbarkeit der bisherigen Vorstellungen zu den Grundrechenoperationen auf den Bereich der gebrochenen Zahlen Unterscheiden zwischen Erweitern und Vervielfachen bzw. Kürzen und Dividieren eines Bruches Verwenden von gebrochenen Zahlen als Operator (z. B. zwei Drittel von 60 Euro) zugehöriger Standard
E	Erweiterung der Vorstellungen zu den Grundrechenoperationen im Bereich der rationalen Zahlen im Sinne von: Addition und Subtraktion als Änderung eines Zustandes Addition als Zusammenfassung von mehreren Änderungen Subtraktion als Unterschied (z. B. Abstand zwischen –2 und 5) Subtraktion als Addition der Gegenzahl Multiplikation mit (–1) als Inversion (Spiegelung am Nullpunkt) Division als Multiplikation mit dem Kehrwert der rationalen Zahl Wechseln der Darstellungsformen (Sachkontexte, Notation, Bild) zu den Grundrechenoperationen im Bereich der rationalen Zahlen. Nutzen von Prozentsätzen als Operatoren zugehöriger Standard
F	Darstellen und Beschreiben von Potenzen mit natürlichem Exponenten als fortgesetzte Multiplikation Beschreiben von Quadrat- und Kubikwurzel als Umkehrung der Potenzschreibweise zugehöriger Standard
G	Wechseln der Darstellungsform für Ausdrücke der Form Erklären des Zusammenhangs zwischen Potenzieren und Radizieren zugehöriger Standard
H	Wechseln der Darstellungsform für Ausdrücke der Form Umformen von Potenzen in Logarithmen und umgekehrt zugehöriger Standard

Operationsvorstellungen und Rechenstrategien

	Rechenverfahren und -strategien anwenden
A	Vertauschen der Reihenfolge beim Hinzufügen und Vergleichen der dabei entstandenen Gesamtmengen
A	> zugehöriger Standard
B	Beschreiben von Aufgabenfamilien (z. B. 5 + 3 = 8 │ 3 + 5 = 8 │ 8 – 5 = 3 │ 8 – 3 = 5) unter Nutzung der Umkehroperationen und des Vertauschungsgesetzes (Kommutativgesetz) bei der Addition und Multiplikation Nutzen, Darstellen und Beschreiben operativer Strategien für das (gestützte) Kopfrechnen: Verdoppeln und Halbieren Nachbaraufgaben (z. B. Verdoppeln plus eins) schrittweises Rechnen bei der Addition und Subtraktion über 10 hinaus Analogien bei gleichartigen Additionen und Subtraktionen (z. B. 12 + 3 mithilfe von 2 + 3) Zerlegungsstrategien flexibles und automatisiertes Lösen der Aufgaben des „kleinen 1+1“ (bis Summe 20) Berechnen von Produkten über auswendig gelernte Kernaufgaben (z. B. 6∙7 = 6∙5 + 6∙2) Durchführen von Kontrollrechnungen unter Nutzung der Umkehroperationen
B	> zugehöriger Standard
C	Nutzen, Darstellen, Beschreiben von Zahlbeziehungen und Rechengesetzen für vorteilhaftes Rechnen und halbschriftliche Rechenverfahren (Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, gleich- und gegensinniges Verändern, „kleines 1x1“ und bekannte Teilbarkeitsregeln) Verknüpfen mehrerer Grundrechenoperationen unter Beachtung der Punkt-vor-Strich-Regel und der Klammerregeln im Bereich der natürlichen Zahlen Nutzen der Teilbarkeitsregeln (für 2, 5, 10 und 100) situationsangemessenes Verwenden von bekannten Rechenverfahren und -strategien flexibles automatisiertes Lösen der Aufgaben des „kleinen 1x1“ Ausführen der schriftlichen Rechenverfahren der Addition, Subtraktion und Multiplikation sowie Beschreiben und Erklären einzelner Rechenschritte in nachvollziehbarer Weise Überschlagen, Abschätzen und Überprüfen von Rechenergebnissen
C	> zugehöriger Standard
D	Prüfen und Übertragen der operativen Strategien und der schriftlichen Rechenverfahren für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division natürlicher Zahlen auf das Rechnen mit gebrochenen Zahlen situationsangemessenes Verwenden der Kopfrechenstrategien und der Rechenverfahren Verknüpfen mehrerer Grundrechenoperationen unter Beachtung der Punkt-vor-Strich-Regel und der Klammerregeln im Zahlenbereich der gebrochenen Zahlen Ausführen der schriftlichen Rechenverfahren für natürliche Zahlen (auch der Division mit ausgewählten zweistelligen Divisoren) Ausführen und Beschreiben des Rechnens mit gemeinen Brüchen Angeben von Ergebnissen mit sinnvoller Genauigkeit (auch bei Dezimalzahlen) Überschlagen, Abschätzen und Überprüfen von Rechenergebnissen (auch im Bereich der gebrochenen Zahlen)
D	> zugehöriger Standard
E	Nutzen, Darstellen und Beschreiben von Strategien und Gesetzen bei der Prozentrechnung (auch Dreisatz und Verhältnisgleichungen) Prüfen und Übertragen der bekannten operativen Strategien, Gesetze und Verfahren auf das Rechnen mit rationalen Zahlen (auch unter Verwendung eines Taschenrechners) Durchführen von einfachen Rechnungen und Überschlagsrechnungen mit rationalen Zahlen im Kopf Angeben von Ergebnissen mit sinnvoller Genauigkeit (auch beim Rechnen mit rationalen Zahlen) Überschlagen, Abschätzen und Überprüfen von Rechenergebnissen (auch im Bereich der rationalen Zahlen)
E	> zugehöriger Standard
F	Nutzen, Darstellen und Beschreiben von Strategien und Gesetzen bei der Prozentrechnung (auch im Zusammenhang mit Rabatt und Zinsen) Überschlagen, Abschätzen und Überprüfen von Rechenergebnissen im Bereich der rationalen Zahlen (auch im Zusammenhang mit der Prozentrechnung)
F	> zugehöriger Standard
G	Prüfen und Übertragen der bekannten operativen Strategien und Verfahren auf das Rechnen mit reellen Zahlen Nutzen des Zusammenhangs um Potenzen mit negativen Exponenten auf bekannte Strukturen zurückzuführen Nutzen, Darstellen und Beschreiben der Potenzgesetze für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Ausführen von Rechnungen und Überschlagsrechnungen im Kopf unter Nutzung von Rechengesetzen zum vorteilhaften Rechnen (auch im Bereich der reellen Zahlen)
G	> zugehöriger Standard
H	Zusammenfassen von Termen mit Wurzeln unter Nutzung der Potenzgesetze Begründen der Wurzelgesetze mithilfe der Potenzgesetze Nutzen des Taschenrechners zur Bestimmung von Logarithmen
H	> zugehöriger Standard

Material

Materialien zur Diagnose und Förderung im Mathematikunterricht: Leitidee Zahlen und Operationen

Gesamtdatei der Leitidee 1 (Zahlen und Operationen) mit navigierbarem Inhaltsverzeich nis
Hrsg.: Landesinstitut für Schule und Medien Berlin-Brandenburg, 2021
Direktlinks zu den Einzeldateien (inklusive aller Diagnose- und Förderaufgaben)
Informationsvideo zu Zahlen und Operationen

Bildelemnt Steckbrief Zahlen und Operationen

Steckbrief zum Informationsvideo

Informationsvideo zu Zahlen und Operationen

Materialien der iMINT-Akademie (Grundschule) Berlin

Die Berliner iMINT-Akademie Grundschule der Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Familie entwickelt Themenkisten zu fachlichen Schwerpunkten der Mathematik. Darin enthalten sind Lernumgebungen, didaktische Handreichungen und Materiallisten.