Kompetenzentwicklung

Kompetenzentwicklung

Mathematik erfordert lebendiges und forschendes Entdecken und Handeln sowie eine altersgerechte Auseinandersetzung mit Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Sicht­weisen. Der Mathematikunterricht befähigt die Schülerinnen und Schüler, ausgehend von ihren mathematischen Vorerfahrungen Zusammenhänge zu erkunden, Strukturen zu untersuchen, Beziehungen zwischen Begriffen aufzudecken, Vorgehensweisen und Darstellungsformen zu finden und begründet auszuwählen. Damit werden die Grundlagen für strukturiertes Denken und für die lebenslange Auseinandersetzung mit mathematischen Anforderungen des täglichen Lebens und der Berufswelt gelegt sowie Anknüpfungspunkte für weiteres, nachhaltiges Lernen im Fach Mathematik geschaffen.

Ziel des Unterrichts ist die Entwicklung von Fähigkeiten und Fertigkeiten, die sich in drei Schwerpunkte gliedern lassen:

  • ­Die Schülerinnen und Schüler nehmen natürliche, technische, soziale und kulturelle Erscheinungen und Vorgänge mithilfe der Mathematik wahr, erforschen sie, setzen sich mit ihnen auseinander und beurteilen sie unter Nutzung mathematischer Aspekte.
  • ­Die Schülerinnen und Schüler erkennen Mathematik mit ihrer fachspezifischen Sprache, ihren Symbolen, Bildern, Darstellungen und Formeln als ein eigenes, geordnetes Konzept und nutzen sie, um mathematische Aufgaben zu beschreiben und zu bearbeiten.
  • ­Die Schülerinnen und Schüler befassen sich mit spezifisch mathematischen und alltäglichen Problemen, setzen sich mit ihnen kreativ und zunehmend selbstbestimmt auseinander und entwickeln dadurch auch über die Mathematik hinausgehende, nützliche heuristische Fähigkeiten.

Diese drei Schwerpunkte müssen in der gesamten Schulzeit im Mathematikunterricht berücksichtigt werden.

Im Mathematikunterricht der Grundschule erwerben die Schülerinnen und Schüler die grundlegenden Kompetenzen der mathematischen Allgemeinbildung. Damit werden die Voraussetzungen für weiteres Lernen in den Bildungsgängen der Sekundarstufen und für die lebenslange, erfolgreiche Auseinandersetzung mit mathematikhaltigen Anforderungen geschaffen.

Für die Einbettung der Mathematik in die Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler sind Alltagsbezüge und andere Verknüpfungen mit der realen Welt (Kontexte) in allen Phasen des Unterrichts bedeutsam. Bei der Auswahl von Kontexten sind auch die vielfältigen Interessen von Kindern und Jugendlichen zu berücksichtigen. Die Auseinandersetzung mit den Kontexten bietet verstärkt die Möglichkeit, Sprach-, Medien- und Verbraucherbildung zu fördern. Die Vermittlung von Strategien zum Lesen von kontextbezogenen Aufgaben und Fachtexten ist ein Schwerpunkt eines sprachsensiblen und differenzierten Mathematikunterrichts.

Der Aufbau der mathematischen Kompetenzen erfolgt spiralförmig und greift immer wieder auf vorhandene Vorstellungen zurück. Das Ziel ist ein verständnisorientierter Erwerb von mathematischen Begriffen und Verfahrensweisen. Tragfähige Vorstellungen sind die Basis für erfolgreiches mathematisches Lernen. Sie sind keine Sammlung von einzelnen Begriffen, Werkzeugen und Ideen, sondern führen zur Ausbildung eines Netzes, das sich durch Erweiterung von bewährten und durch Zugewinn von neuen Vorstellungen zu einem immer leistungsfähigeren System subjektiver Erfahrungsbereiche, Handlungsvorstellungen und Erklärungsmodelle entwickelt.

Fehlende oder unvollständige Vorstellungen zu Zahlen, Operationen und Strategien können beispielsweise eine Ursache für Rechenschwierigkeiten und Verständnislücken sein, denen man frühzeitig präventiv entgegenwirken sollte. Kinder mit Schwierigkeiten im Rechnen können zwar oft mithilfe von konkreten Materialen eine Handlung durchführen, diese jedoch nicht beschreiben. Hierzu ist eine besondere Unterstützung durch die Lehrkraft erforderlich, z. B. durch die fortlaufende Anregung der Lernenden zum Sprechen über mathematische Strukturen und Handlungen. Dadurch wird eine Grundlage für das mathematische Operieren in der Vorstellung gelegt.

Zur Diagnose von Lernvoraussetzungen sind individuelle Lernstandserhebungen und der Einsatz diagnostischer Aufgaben notwendig. Die Analyse der Ergebnisse bietet die Grundlage für eine differenzierte Unterrichtsplanung und für entsprechende Lernangebote. Dazu sind passende Aufgaben erforderlich. Unterschiedliche Kenntnisse und Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler erfordern Aufgabenformate, die hinsichtlich ihrer Anforderungen und Bearbeitungsmöglichkeiten variiert werden können. Differenzierte Aufgabenstellungen ermöglichen individuelle Lösungen auf unterschiedlichen Niveaus. Zusätzlich ist eine Unterscheidung zwischen Aufgaben zum Initiieren von Lernprozessen (Lernaufgaben) und Aufgaben zum Überprüfen des Leistungsstandes (Leistungsaufgaben) erforderlich.

Die Art und Weise, wie den Schülerinnen und Schülern Gelegenheit gegeben wird, sich mit mathematischen Fragen auseinanderzusetzen, ist entscheidend dafür, dass eine positive Grundhaltung zum Fach aufgebaut werden kann. Die Schülerinnen und Schüler werden durchgängig ermutigt, in die Mathematik forschend vorzudringen und lebendig und phantasievoll mit mathematikhaltigen Problemen umzugehen. Forschend-entdeckendes Lernen ermöglicht es dabei in besonderem Maße, Fragen zu entwickeln und zu stellen, verschiedene Lern- und Lösungsstrategien zu entwickeln und anzuwenden sowie selbsttätig neue Inhalte und Zusammenhänge zu erschließen. In vielfältiger Weise werden dabei Kompetenzen erworben bzw. weiterentwickelt und mit dem Vorwissen in Beziehung gesetzt. Diese Herangehensweise an mathematische Fragestellungen wird genutzt, um den Lernenden Gelegenheit zu geben, Handlungskompetenz und ein immer tieferes Verständnis für mathematische Zusammenhänge zu erwerben.

Dem Üben und Vertiefen kommt im Fach Mathematik eine wichtige Rolle zu, um sicheres und vernetztes Wissen zu erhalten. Produktives Üben dient der Vertiefung von Einsichten, der Geläufigkeit und geistigen Beweglichkeit. Automatisierendes Üben festigt das Grundwissen und basiert auf einem sicheren Verständnis der zu übenden Begriffe und Verfahren. Dabei bezieht sich das Üben nicht nur auf die letzte Phase des Aneignungsprozesses, sondern alle Phasen des Unterrichts sollten Anteile von Übung und Wiederholung enthalten. Das Üben von Fertigkeiten, das Reflektieren von Begriffen, das Untersuchen von Strukturen, das Lösen von Problemen – all dies kann in Übungsaufgaben angesprochen werden. Bei der Gestaltung von Übungen ist eine angemessene Individualisierung erforderlich, die die unterschiedlichen Fähigkeiten der Lernenden berücksichtigt. Schülerinnen und Schüler werden dabei zunehmend befähigt, eigenverantwortlich zu üben.

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Die Qualität mathematischer Bildung zeigt sich in prozessbezogenen und inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen, die stets miteinander verknüpft sind. Sie lässt sich daran messen, inwieweit die Schülerinnen und Schüler in der Lage sind, ihr Wissen funktional und flexibel einzusetzen, um innermathematische und kontextbezogene Probleme zu bearbeiten und begründete mathematische Urteile abzugeben.

Die drei Dimensionen des Kompetenzmodells für das Fach Mathematik sind

  • die prozessbezogenen mathematischen Kompetenzen
  • die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen, die in Leitideen geordnet sind
  • die Anforderungsbereiche, die eine Orientierung für den kognitiven Anspruch mathematischen Handelns geben.
Prozessbezogene mathematische Kompetenzbereiche

Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzbereiche (Leitideen)

[K1] Mathematisch argumentieren

[L1] Zahlen und Operationen

[K2] Probleme mathematisch lösen

[L2] Größen und Messen

[K3] Mathematisch modellieren[L3] Raum und Form
[K4] Mathematische Darstellungen verwenden [L4] Gleichungen und Funktionen
[K5] Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der
Mathematik umgehen
[L5] Daten und Zufall
[K6] Mathematisch kommunizieren  

Anforderungsbereiche

Anforderungsbereich I: Reproduzieren

Dieser Anforderungsbereich umfasst die Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen, Sätzen und Verfahren in einem abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden Zusammenhang.

Anforderungsbereich II: Zusammenhänge herstellen

Dieser Anforderungsbereich umfasst das Bearbeiten bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung mit Mathematik auf verschiedenen Gebieten erworben wurden.

Anforderungsbereich III: Verallgemeinern und Reflektieren

Dieser Anforderungsbereich umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u. a. mit dem Ziel, zu eigenen Problemformulierungen, Lösungen, Begründungen, Folgerungen, Interpretationen oder Wertungen zu gelangen.

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Prozessbezogene mathematische Kompetenzen

Die prozessbezogenen mathematischen Kompetenzen werden nicht isoliert, sondern stets im Verbund mit den inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen erworben. Dafür muss der Mathematikunterricht so gestaltet werden, dass die Schülerinnen und Schüler diese Kompetenzen schrittweise und individuell gemäß ihren Lernvoraussetzungen und Vorerfahrungen, ihrem Lerntyp und Lerntempo entwickeln können. Die sechs prozessbezogenen mathematischen Kompetenzen erfassen die zentralen Aspekte mathematischen Arbeitens. Sie stehen dabei in unterschiedlichem Maße mit den inhaltbezogenen mathematischen Kompetenzen in Verbindung. Während in bestimmten Themengebieten bereits frühzeitig ein erweitertes Niveau einer prozessbezogenen mathematischen Kompetenz erreicht werden kann, kann das in anderen Themengebieten ggf. auch noch nicht der Fall sein.

Im Folgenden werden die prozessbezogenen mathematischen Kompetenzbereiche des Kompetenzmodells im Mathematikunterricht beschrieben. Die Beschreibung führt die Aussagen der Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich (KMK, 2004) und der Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Hauptschul- und Mittleren Schulabschluss (KMK, 2003 und 2004) zusammen. Diese Beschreibungen sind Grundlage für die Formu-lierung der Standards im anschließenden Kapitel.

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[K1] Mathematisch argumentieren

Mathematisches Argumentieren beginnt mit dem Erkunden von Situationen.

Die Schülerinnen und Schüler stellen Fragen, die für die Mathematik charakteristisch sind:
„Gibt es …?“, „Wie verändert sich…?“, „Ist das immer so …?“, „Warum ist das so…?"

Davon ausgehend stellen sie Vermutungen auf und begründen diese nachvollziehbar durch mathematische Argumentationen wie Erläuterungen, Begründungen und Beweise. Auch das Beschreiben und Begründen von Lösungswegen ist ein Teil des mathematischen Argumentierens.

[K2] Probleme mathematisch lösen

Mathematisches Problemlösen findet statt, wenn ein unbekannter Lösungsweg entwickelt oder aus verschiedenen Lösungswegen ausgewählt werden muss. Die Schülerinnen und Schüler erschließen dabei Zusammenhänge und stellen Vermutungen auf. Anschließend lösen sie das Problem unter Verwendung heuristischer Strategien und Hilfsmittel, prüfen ihr Ergebnis und reflektieren ihren Lösungsweg bzw. ihr Vorgehen.

[K3] Mathematisch modellieren

Beim mathematischen Modellieren werden in der Regel reale Situationen in mathematische Modelle übersetzt, dort gelöst und zurück in die reale Situation übertragen. Es können auch mathematische Situationen durch reale Handlungen oder Bilder beschrieben werden, die dann als Modell verwendet werden können. Mathematisches Modellieren lässt sich damit als eine Verknüpfung der Schritte Vereinfachen, Mathematisieren, Bearbeiten, Interpretieren und Validieren beschreiben.

[K4] Mathematische Darstellungen verwenden

Die Mathematik bietet verschiedene, sich gegenseitig ergänzende Darstellungsformen:

  • enaktiv Darstellungen (z. B. mit Mehrsystemblöcken, Würfeln)
  • verbale Beschreibungen (geschriebener oder gesprochener Text)
  • nummerische Darstellungen (z. B. in Tabellenform)
  • grafische Darstellungen (z. B. Skizzen, Figuren, Funktionsgraphen)
  • mathematisch-symbolische Darstellungen (z. B. Terme)

Mathematisches Arbeiten zeichnet sich durch Auswählen, Anfertigen und Interpretieren solcher Darstellungen aus. Durch den flexiblen, problemangemessenen Wechsel zwischen ihnen werden Grundvorstellungen aktiviert und gefestigt.

Durch die Förderung dieser Kompetenz wird auch ein Beitrag zur Medienbildung geleistet.

[K5] Mit symbolischen, formalen, technischen Elementen der Mathematik umgehen

Das zielgerichtete, mathematische Arbeiten erfordert den Umgang mit symbolischen, formalen und technischen Elementen. Die Schülerinnen und Schüler wählen daher angemessene Verfahren und Werkzeuge (z. B. gedächtnismäßig beherrschte Aufgaben, Formeln) sinnvoll aus und reflektieren ihre Wahl.

Bei der Nutzung moderner mathematischer Hilfsmittel (z. B. Taschenrechner, Tabellenkalkulation, Geometriesoftware) spielt auch die Medienbildung eine wichtige Rolle.

[K6] Mathematisch kommunizieren

Die Kommunikation über mathematische Zusammenhänge bzw. mit mathematischen Mitteln umfasst u.a. das verstehende Zuhören sowie das verständige Lesen mathematikhaltiger Texte. Die Sprache ist das zentrale Verständigungsmittel, um beim Arbeiten an mathematischen Problemen die Gedanken zu strukturieren und darzulegen. Dieses erfolgt in mündlicher und in schriftlicher Form. Mathematisches Kommunizieren bietet wichtige Ansatzpunkte, den Unterricht sprachsensibel zu gestalten. Die dazu notwendigen sprachlichen Fähigkeiten sollen im Mathematikunterricht ausgehend von der Alltagssprache gezielt angebahnt und auch vertieft werden. Dafür müssen im Unterricht Aufgabenstellungen genutzt werden, die eine gemeinsame Bearbeitung durch alle Schülerinnen und Schüler ermöglichen und damit Sprechanlässe bieten.

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Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzbereiche (Leitideen)

Im Folgenden werden die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzbereiche (Leitideen) des Kompetenzmodells im Mathematikunterricht beschrieben. Die Beschreibung führt die Aussagen der Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich (KMK, 2004) und der Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Hauptschul- und Mittleren Schulabschluss (KMK, 2003 und 2004) zusammen. Diese Leitideen sind Grundlage für die Formulierung der Standards im anschließenden Kapitel.

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[L1] Zahlen und Operationen

Die Schülerinnen und Schüler entwickeln, ausgehend von den natürlichen Zahlen tragfähige Vorstellungen zu Zahlen, Operationen und Strategien in verschiedenen Zahlenbereichen, die sie z. B. durch den Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungsformen nachweisen. Sie erfassen und nutzen Beziehungen zwischen Rechenoperationen, entwickeln Rechenstrategien und nutzen diese zum Rechnen, auch in Kontexten.

[L2] Größen und Messen

Die Schülerinnen und Schüler entwickeln im handelnden Umgang tragfähige Größenvorstellungen. Größen werden gemessen, geschätzt und verglichen. Dabei verinnerlichen die Lernenden die Grundidee des Messens und verstehen den Aufbau von Skalierungen. Sie operieren kontextbezogen mit Maßen und Einheiten insbesondere anhand von Größen, die im täglichen Leben eine Rolle spielen.

In geometrischen Sachverhalten werden Längen, Flächeninhalte, Volumina und Winkelgrößen bestimmt und berechnet.

[L3] Raum und Form

Die Schülerinnen und Schüler orientieren sich im Raum und in der Ebene. Dabei sammeln sie Erfahrungen zu Eigenschaften von geometrischen Objekten, Prozessen und Beziehungen. Sie erfassen zeichnerische Darstellungen und entwickeln ihre eigenen zeichnerischen Fähigkeiten. Ebene Figuren und Körper werden analysiert, klassifiziert und durch Skizzen, Konstruktionen, Netze, Schrägbilder oder Modelle dargestellt. Dabei sollen die Schülerinnen und Schüler auch die Fähigkeit entwickeln, sich geometrische Objekte vorzustellen und mit ihnen in der Vorstellung zu operieren.

Durch die Darstellung geometrischer Situationen mithilfe von Koordinaten werden geometrische Probleme der analytischen Bearbeitung zugänglich.

Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden beschrieben und Gesetzmäßigkeiten begründet, um sie in Sachzusammenhängen zu nutzen.

[L4] Gleichungen und Funktionen

Variablen, Terme und Gleichungen werden strukturell zur Beschreibung von inner- und außermathematischen Situationen verwendet. Ausgehend von den Rechengesetzen für Zahlen entwickeln die Schülerinnen und Schüler ein Verständnis für das Operieren mit Variablen.

Bereits in der Primarstufe nutzen und verstehen die Schülerinnen und Schüler strukturierte Darstellungen. Sie erkennen und beschreiben Gesetzmäßigkeiten in geometrischen bzw. arithmetischen Mustern und gehen dazu über, in Sachsituationen funktionale Zusammenhänge zur Beschreibung und Problemlösung zu nutzen.

Funktionen sind ein zentrales Mittel zur mathematischen Beschreibung quantitativer Zusammenhänge. Mit ihnen lassen sich Phänomene der Abhängigkeit und der Veränderung erfassen und analysieren. Damit sind Funktionen zur Bearbeitung einer Vielzahl von Realsituationen aus Natur, Wissenschaft und Gesellschaft als Modelle geeignet.

Das Arbeiten mit Funktionen ist gekennzeichnet durch den Wechsel zwischen verschiedenen Darstellungsformen.

[L5] Daten und Zufall

Die Schülerinnen und Schüler sammeln und dokumentieren Daten, stellen sie grafisch dar, fassen sie mithilfe statistischer Kennwerte nummerisch zusammen, beschreiben und interpretieren sie.

Ausgehend von Wahrscheinlichkeitsschätzungen und experimentellen Untersuchungen werden Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen beschrieben. Auf der Basis von kombinatorischen Überlegungen sowie durch Verfahren und Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung können Zufallserscheinungen verstanden sowie qualitativ und quantitativ erfasst werden. Auf diese Weise gelangen die Lernenden zu fundierten und kontrollierten Urteilen in realen Entscheidungssituationen und entwickeln ein grundlegendes Verständnis für Simulationen und Prognosen.

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Redaktionell verantwortlich: Thomas Hirschle, LISUM